Akıllı Not Detayı

Matematik 1. Yazılıya Hazırlık Notları

Bu not, Matematik 1. yazılıya hazırlanmak için dersin önemli konu başlıklarını, detaylı açıklamalarını, sık karşılaşılan hataları ve faydalı ipuçlarını içermektedir. Bu notu okuduktan sonra videoya ihtiyaç duymamanız hedeflenmiştir.

---

Genel Bilgilendirme

1. yazılıda Çarpanlar ve Katlar, Üslü İfadeler ve Kareköklü İfadeler konularından sorumlu olacaksınız. Kareköklü ifadelerin tamamından değil, çarpma ve bölmeye kadar olan kısımlarından sorumluyuz.
Bu not, Milli Eğitim Bakanlığı'nın yayınladığı örnek sorulara ve senaryolara %100 uyumlu olarak hazırlanmıştır.
Yazılıya hazırlanırken, yazılı notlarından 8-17. sayfaları ve yazılı denemelerinden 15-22. sayfaları mutlaka tamamlayın.

1. Çarpanlar ve Katlar

1.1. Çarpan Bulma (Bölen Bulma)

Bir sayının çarpanları (bölenleri), o sayıyı tam bölen doğal sayılardır.

<example>
Alanı 24 cm² olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları tam sayı ise, kenarları 24'ün çarpanları olmalıdır:
1 x 24
2 x 12
3 x 8
4 x 6
Dolayısıyla, 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
</example>

<common-mistake>
Bir sayının çarpanlarını bulurken 1 ve sayının kendisini unutmamak önemlidir. Her sayı 1'e ve kendisine tam bölünür.
</common-mistake>

1.2. Asal Çarpanlara Ayırma

Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır. Bunun için asal sayıları (yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen sayılar) iyi bilmek gerekir.

<tip>
Asal Sayılar:
En küçük asal sayı 2'dir.
Tek çift asal sayı 2'dir. Diğer tüm asal sayılar tek sayıdır.
İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
</tip>

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki yöntem kullanılabilir:

Çarpan Ağacı Yöntemi:
Sayıyı iki çarpanına ayırarak başlanır, dalların en sonuna gelindiğinde tüm çarpanlar asal sayı olana kadar devam edilir.
<example>
18 sayısı için çarpan ağacı:
18
/ \
2 9
/ \
3 3
Yani, 18 = 2 x 3 x 3 = 2¹ x 3². Son dallardaki 2 ve 3 asal sayılardır.
</example>

Bölen Listesi (Algoritma) Yöntemi:
Sayı, en küçük asal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara bölünür, bölüm 1 olana kadar devam edilir.
<example>
18 sayısı için bölen listesi:
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
Yani, 18 = 2 x 3 x 3 = 2¹ x 3².
</example>

<tip>
Bir sayının asal çarpanlarını üslü ifade olarak yazarken, tabanlar asal çarpanlar, üsler ise o asal çarpanın kaç kez tekrar ettiğini gösterir. Örneğin, 18 = 2¹ x 3². Buradaki 2 ve 3, 18'in asal çarpanlarıdır.
</tip>

1.3. En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK)

EBOB: İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır.
EKOK: İki veya daha fazla sayının ortak katları arasındaki en küçük sayıdır.

EBOB ve EKOK Bulma Yöntemi (Bölen Listesi):
Sayılar yan yana yazılır ve asal çarpanlarına ayrılır.
Her iki (veya daha fazla) sayıyı da aynı anda bölen asal sayılar işaretlenir (örneğin yuvarlak içine alınır).
EBOB, işaretlenen asal sayıların çarpımıdır.
EKOK, listedeki tüm asal sayıların çarpımıdır.

<example>
18 ve 30 sayılarının EBOB ve EKOK'u:
18 30 | 2 (İkisini de böler, işaretle)
9 15 | 3 (İkisini de böler, işaretle)
3 5 | 3
1 5 | 5
1 1 |

EBOB(18, 30) = 2 x 3 = 6
EKOK(18, 30) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90
</example>

<tip>
Problemlerde birimlere dikkat etmek gerekir. Eğer sayılar kilogram ise EBOB/EKOK sonuçları da kilogram cinsinden olacaktır.
</tip>

1.4. EBOB ve EKOK Özellikleri

İki Sayının Çarpımı: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Sayılar (A, B) için: A x B = EBOB(A, B) x EKOK(A, B)
<example>
18 ve 30 için: 18 x 30 = 540.
EBOB(18, 30) x EKOK(18, 30) = 6 x 90 = 540. Eşitlik sağlanır.
</example>

Birbirinin Katı Olan Sayılar: Eğer sayılardan biri diğerinin tam katıysa:
EBOB, küçük olan sayıdır.
EKOK, büyük olan sayıdır.
<example>
12 ve 24 için (24, 12'nin katıdır):
EBOB(12, 24) = 12
EKOK(12, 24) = 24
</example>

<tip>
Genellikle EKOK sayılardan daha büyük veya eşit, EBOB ise sayılardan daha küçük veya eşit çıkar.
</tip>

1.5. Aralarında Asallık

Tanım: 1'den başka ortak böleni olmayan sayılara "aralarında asal sayılar" denir.
<example>
9 ve 14: 9'un çarpanları (1, 3, 9), 14'ün çarpanları (1, 2, 7, 14). Tek ortak bölenleri 1 olduğu için aralarında asaldırlar.
1 ile bütün sayılar aralarında asaldır.
Ardışık doğal sayılar (örneğin 51 ve 52, 63 ve 64) her zaman aralarında asaldır.
</example>

<common-mistake>
15 ve 21 sayıları aralarında asal değildir, çünkü her ikisi de 3'e bölünür (ortak bölenleri 3'tür).
</common-mistake>

Aralarında Asal Sayıların EBOB ve EKOK'u:
Aralarında asal sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
Aralarında asal sayıların EKOK'u, sayıların çarpımına eşittir.
<example>
4 ve 15 için:
EBOB(4, 15) = 1 (Çünkü aralarında asaldırlar)
EKOK(4, 15) = 4 x 15 = 60
</example>

1.6. EBOB ve EKOK Problemlerini Ayırt Etme

Problemin EBOB mu yoksa EKOK mu gerektirdiğini anlamak için şunlara dikkat edilebilir:

EBOB Problemleri (Bütün-Parça İlişkisi): Büyük parçaları, daha küçük ve eşit parçalara ayırma, bölüştürme, kesme durumlarında kullanılır. Genellikle cevap, verilen sayılardan daha küçük olur.
Örnek durumlar: Zeytinyağı, kumaş, tahta kesme, fidan dikme (eşit aralıklarla), fayansları bir kenara dizme, sınıf gruplandırmaları.
<example>
36 litrelik ve 28 litrelik yağ tenekelerini eşit hacimli en büyük şişelere ayırmak için EBOB kullanılır.
</example>

EKOK Problemleri (Parça-Bütün İlişkisi): Küçük parçaları bir araya getirerek daha büyük bir bütün oluşturma veya olayların ne zaman tekrar bir araya geleceğini bulma durumlarında kullanılır. Genellikle cevap, verilen sayılardan daha büyük olur.
Örnek durumlar: Fayans veya karolarla alan döşeme, zillerin/otobüslerin/nöbetlerin aynı anda tekrar olması, ortak hareket saati bulma, zaman ölçen sorular (aynı anda karşılaşma, birlikte yola çıkma).
<example>
45 dakikada bir ve 30 dakikada bir çalan iki zilin ne zaman tekrar birlikte çalacağını bulmak için EKOK kullanılır. Zaman sorularında çoğunlukla EKOK kullanılır.
</example>

---

2. Üslü İfadeler

2.1. Tam Sayıların Kuvvetleri (Üslü Giller)

Bazı sayıların kuvvetlerini (üslerini) ezbere bilmek işlemleri hızlandırır. Özellikle 2'nin, 3'ün ve 5'in kuvvetleri sıkça kullanılır.

<tip>
2'nin Kuvvetleri: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024
3'ün Kuvvetleri: 3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
5'in Kuvvetleri: 5¹=5, 5²=25, 5³=125, 5⁴=625
Bu "üslü giller" LGS'de ve sınavlarda sıkça karşımıza çıkar.
</tip>

2.2. Önemli Üs Özellikleri

1'in Kuvvetleri: 1'in herhangi bir kuvveti her zaman 1'dir.
<example> 1²⁵ = 1 </example>
Sayının 1. Kuvveti: Bir sayının 1. kuvveti sayının kendisine eşittir.
<example> 30¹ = 30 </example>
Sayının 0. Kuvveti: Sıfır hariç, her sayının 0. kuvveti 1'dir.
<example> 12⁰ = 1 </example>
<common-mistake>
0⁰ ifadesi tanımsızdır. Genellikle pozitif tam sayıların veya reel (gerçek) sayıların sıfırıncı kuvvetinden bahsedilir ve bu 1'e eşittir.
</common-mistake>

2.3. Negatif Sayıların Kuvvetleri

Çift Kuvvetler: Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
<example> (-4)² = (-4) x (-4) = +16 </example>
Tek Kuvvetler: Negatif bir sayının tek kuvveti her zaman negatiftir.
<example> (-4)³ = (-4) x (-4) x (-4) = -64 </example>
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri zaten pozitiftir.

<common-mistake>
Parantezin Önemi:
(-4)² = +16 (Çünkü parantez içindeki negatif sayı çarpılır.)
-4² = -16 (Çünkü eksi işareti tabanı kapsamaz, sadece 4'ün karesi alınır ve önüne eksi konur.)
-1 sayısının çift kuvvetleri +1'dir.
-1 sayısının tek kuvvetleri -1'dir.
</common-mistake>

2.4. Negatif Üs

Bir sayının üssü negatif ise, bu sayının çarpma işlemine göre tersi alınır (sayı takla attırılır) ve üs pozitif hale gelir.

(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
<example>
(2/3)⁻² = (3/2)² = 3²/2² = 9/4
</example>

Tam sayılarda negatif üs:
<example>
4⁻¹ = 1/4¹ = 1/4 (Her tam sayının altında "görünmez bir 1" vardır.)
3⁻² = 1/3² = 1/9
</example>

2.5. Üssün Üssü

Bir üslü ifadenin üssü tekrar alındığında (üssün üssü), üsler çarpılır ve taban aynı kalır.

(a^m)^n = a^(m x n)
<example>
(2⁵)³ = 2^(5 x 3) = 2¹⁵
</example>

Tabanı farklı gibi görünen sayıları aynı tabanda yazarak üssün üssü kuralı uygulanabilir.
<example>
16⁻² = (2⁴)⁻² = 2^(4 x -2) = 2⁻⁸ = 1/2⁸ = 1/256
</example>

2.6. Üslü İfadelerde Çarpma ve Bölme

Tabanlar Aynı İse:
Çarpma: Üsler toplanır, taban aynı kalır.
<example> 3⁵ x 3⁷ = 3^(5+7) = 3¹² </example>
Bölme: Üsler çıkarılır (payın üssünden paydanın üssü çıkarılır), taban aynı kalır.
<example> 2¹⁰ / 2³ = 2^(10-3) = 2⁷ </example>

Üsler Aynı İse:
Çarpma: Tabanlar çarpılır, üs aynı kalır.
<example> 2⁸ x 3⁸ = (2 x 3)⁸ = 6⁸ </example>
Bölme: Tabanlar bölünür (payın tabanı paydanın tabanına bölünür), üs aynı kalır.
<example> 20⁶ / 5⁶ = (20 / 5)⁶ = 4⁶ </example>

2.7. Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yapabilmek için, ifadenin hem tabanı hem de üssü aynı olmalıdır. Bu durumda, katsayılar toplanır veya çıkarılır. "Elma armut hesabı" olarak düşünebiliriz.

<example>
6 x 2¹⁰ + 5 x 2¹⁰ = (6 + 5) x 2¹⁰ = 11 x 2¹⁰ (6 elma + 5 elma = 11 elma gibi)
9 x 3⁸ - 4 x 3⁸ = (9 - 4) x 3⁸ = 5 x 3⁸
</example>

2.8. Bir Sayının Çözümlenmesi (Ondalık Gösterimlerin Çözümlenmesi)

Bir sayıyı çözümlemek, basamak değerlerini 10'un kuvvetleri şeklinde yazmaktır. Özellikle ondalık sayılar için "altı çizgi metodu" kullanışlıdır.

<tip> Altı Çizgi Metodu:
... 10² 10¹ 10⁰ , 10⁻¹ 10⁻² 10⁻³ ...
Virgülün solu pozitif kuvvetler (birl, onl, yüzl...), virgülden sonrası negatif kuvvetler (onda birl, yüzde birl, binde birl...)
</tip>

<example>
Çözülenmiş hali verilen sayıyı yazma: 3 x 10¹ + 5 x 10⁰ + 2 x 10⁻¹ + 6 x 10⁻² + 1 x 10⁻³
Çizgileri çizeriz: _ _ _ , _ _ _
10² yok, o zaman buraya 0 koyarız.
10¹ basamağına 3
10⁰ basamağına 5
Virgül
10⁻¹ basamağına 2
10⁻² basamağına 6
10⁻³ basamağına 1
Sayı: 035,261 = 35,261
</example>

<tip>
Çözümleme yaparken eksik olan basamaklara (0 katsayılı) sıfır yazmayı unutmayın. Aralarda boşluk kalmamalıdır. Sayının başında veya sonunda (ondalık kısımda) sıfırlar ihmal edilebilir.
</tip>

2.9. Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar

Çok Büyük Sayılar: 10'un pozitif tam sayı kuvvetleri ile ifade edilir.
<example> 65,000,000 = 65 x 10⁶ </example>
Çok Küçük Sayılar: 10'un negatif tam sayı kuvvetleri ile ifade edilir.
<example> 0.000037 = 37 x 10⁻⁶ (Virgülü sağa kaydırdıkça üs azalır - negatif yönde büyür) </example>

Katsayı ve Üs Arasındaki Denge: Bir sayının katsayısını değiştirirken, 10'un kuvveti buna göre ayarlanmalıdır ki sayının değeri değişmesin.
Katsayı küçültülürse, üs büyütülür (pozitif yönde).
Katsayı büyütülürse, üs küçültülür (negatif yönde).
<example>
65 x 10⁶ = 0.65 x 10⁸ (65'i 0.65 yapmak için 2 basamak küçülttük, 10⁶'yı 10⁸ yapmak için üssü 2 arttırdık).
</example>
<common-mistake>
Negatif üslerde dengeyi ayarlarken dikkat edin:
37 x 10⁻⁶ = 370 x 10⁻⁷ (37'yi 370 yapmak için 1 basamak büyüttük, 10⁻⁶'yı 10⁻⁷ yapmak için üssü 1 azalttık. -6'dan -7'ye inmek, üssü azaltmaktır).
</common-mistake>

2.10. Bilimsel Gösterim

Bir sayıyı a x 10ⁿ şeklinde yazmaya bilimsel gösterim denir.

Kurallar:
1 ≤ a < 10 olmalı (a, 1'e eşit veya 1'den büyük, 10'dan küçük olmalı).
n bir tam sayı olmalı.

<example>
481 x 10⁷ sayısını bilimsel gösterimle yazma:
481'i 1 ile 10 arasına getirmek için virgülü 2 basamak sola kaydırırız: 4.81.
Sayıyı 2 basamak küçülttüğümüz için üssü 2 arttırmamız gerekir: 10⁷ -> 10⁹.
Sonuç: 4.81 x 10⁹
</example>

<example>
0.009 x 10⁻¹⁰ sayısını bilimsel gösterimle yazma:
0.009'u 1 ile 10 arasına getirmek için virgülü 3 basamak sağa kaydırırız: 9.
Sayıyı 3 basamak büyüttüğümüz için üssü 3 azaltmamız gerekir: 10⁻¹⁰ -> 10⁻¹⁰⁻³ = 10⁻¹³.
Sonuç: 9 x 10⁻¹³
</example>

---

3. Kareköklü İfadeler

3.1. Tam Kare Sayılar ve Karekökleri

Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılardır (örneğin 4 (2²), 9 (3²), 49 (7²)).
Karekök: Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Sembolü √'dir.
<example>
√9 = 3 (çünkü 3 x 3 = 9)
Alanı 81 cm² olan bir karenin bir kenar uzunluğu √81 = 9 cm'dir.
</example>

<tip>
İlk 10-15 tam kare sayıyı ezbere bilmek (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225) işlemleri hızlandırır.
</tip>

3.2. Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Yaklaşık Değeri

Tam kare olmayan sayıların karekökleri bir tam sayı değildir, ancak hangi iki tam sayı arasında olduğunu ve hangisine daha yakın olduğunu bulabiliriz.

<tip>
Bir sayının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için, o sayının hangi tam kare sayılar arasında olduğunu belirleyip kareköklerini alırız.
</tip>

<example>
√3 sayısının yaklaşık değeri:
√1 = 1 ve √4 = 2.
3, 1 ile 4 arasındadır, dolayısıyla √3, 1 ile 2 arasındadır. 3, 4'e daha yakın olduğu için √3, 2'ye daha yakındır (yaklaşık 1.73).

√17 sayısının yaklaşık değeri:
√16 = 4 ve √25 = 5.
17, 16 ile 25 arasındadır, dolayısıyla √17, 4 ile 5 arasındadır. 17, 16'ya daha yakın olduğu için √17, 4'e daha yakındır.
</example>

3.3. a√b Şeklinde Gösterim

Karekök içindeki sayıyı a√b şeklinde yazmak, karekökü basitleştirmektir. Bunun için karekök içindeki sayının tam kare çarpanları bulunur.

Yöntem 1 (Asal Çarpanlara Ayırma):
Sayının asal çarpanlarına ayrılır.
İki kez tekrar eden her asal çarpan, bir tane olarak kök dışına çıkar. Tek kalanlar kök içinde kalır.
<example>
√28:
28 | 2
14 | 2 (İki tane 2 var, dışarı bir tane 2 olarak çıkar)
7 | 7 (Tek kaldı, içeride kalır)
1 |
Sonuç: 2√7
</example>

Yöntem 2 (Tam Kare Çarpan Bulma - kısa yol):
Karekök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanı bulunur.
Bu tam kare çarpan kök dışına çıkarılır.
<example>
√45 = √ (9 x 5) = √9 x √5 = 3√5
</example>

Katsayıyı Karekök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine almak için, o sayının karesi alınıp kök içindeki sayı ile çarpılır.
<example>
3√5 = √ (3² x 5) = √ (9 x 5) = √45
</example>
Bu, sayıları sıralamak veya karşılaştırmak için faydalıdır.

3.4. Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme

Çarpma:
Kök dışındaki sayılar kendi arasında çarpılır, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır.
a√x . b√y = (a.b)√(x.y)
<example>
5√2 x 4√3 = (5 x 4)√(2 x 3) = 20√6
</example>
<example>
3√2 x √7 = (3 x 1)√(2 x 7) = 3√14 (Gizli 1'i unutma)
</example>
<example>
√3 x √3 = √9 = 3 (Aynı köklü sayıların çarpımı kökü kaldırır)
</example>

Bölme:
Kök dışındaki sayılar kendi arasında bölünür, kök içindeki sayılar kendi arasında bölünür.
a√x / b√y = (a/b)√(x/y)
<example>
8√6 / 2√2 = (8 / 2)√(6 / 2) = 4√3
</example>
<example>
√35 / √5 = √(35 / 5) = √7
</example>
<example>
24√7 / 6 = (24 / 6)√7 = 4√7
</example>

---